ইশতিয়াক আহমেদ সাঈফ
আমরা সবাই জানি, 2 + 2 = 4
দুটো কলম আর দুটো কলম মিলে মোট চারটি কলম হয়—এতেও কোনো সন্দেহ নেই।
কিন্তু যদি 2 + 2 = 4 এই গাণিতিক উক্তিটি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে বলা হয়, সে ক্ষেত্রে অবশ্যই আমাদের গণিতের কিছু নিয়ম ও পদ্ধতির অনুসরণ করতে হবে।
গণিতের মূলে রয়েছে অনেকগুলো Axioms (স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য), যেগুলো ব্যবহার করে অন্যান্য Mathematical Statement (গাণিতিক উক্তি) প্রমাণ করা যায়।
শুরুতে আমরা সহজ ভাষায় জেনে নিই axiom কাকে বলে।
Axiom (স্বতঃসিদ্ধ) শব্দের অর্থ : প্রমাণের অপেক্ষা রাখে না এমন;
এমন কোনো উক্তি, যা প্রমাণ করা হয়নি (কিংবা প্রমাণ করা যায় না), কিন্তু সত্য বলে ধরে নেয়া হয়।
গণিতে এ ধরনের অনেক উক্তি বা সাক্ষ্য রয়েছে, যা নিজেই নিজের প্রমাণ এবং কোনো প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্তে উপনীত হতে এদের সত্য বলে ধরে নিতে হয়। আজকে আমরা যেই গাণিতিক উক্তিটি প্রমাণ করতে যাচ্ছি, সেটির জন্য আমাদের প্রয়োজন পড়বে ‘পিয়ানো’র স্বতঃসিদ্ধ।
Peano’s Axioms (‘পিয়ানো’র স্বতঃসিদ্ধ)
Giuseppe Peano নামক এক ইটালিয়ান গণিতবিদ Natural Number-এর জন্য কিছু স্বতঃসিদ্ধ প্রদান করেন।
তার স্বতঃসিদ্ধগুলো Natural Number-এর জন্য হলেও আলোচ্য ক্ষেত্রে 0 সংখ্যাটি Natural Number-এর অন্তর্ভুক্ত বিবেচনা করা হয়েছে।
(যদিও সাধারণত Natural Number শুরু হয় 1 থেকে)
এ ছাড়াও পরবর্তীকালে তার স্বতঃসিদ্বগুলোতে আরও কিছু পরিমার্জন করা হয়।
স্বতঃসিদ্ধগুলো পাঠকদের সহজে বোঝানোর জন্য আমি নিজের ভাষায় সহজ করে লিখছি :
0 একটি সংখ্যা।
কোনো সংখ্যার Successor (উত্তরসূরি) হবে আরেকটি সংখ্যা।
দুটো ভিন্ন সংখ্যার জন্য একই Successor পাওয়া যাবে না।
0 কোনো সংখ্যার Successor নয়।
0 এর জন্য যেই বৈশিষ্টগুলো পাওয়া যাবে, যেকোনো সংখ্যার Successor-এর জন্যও সেই বৈশিষ্টগুলো পাওয়া যাবে।
এখন দশভিত্তিক সংখ্যার ক্ষেত্রে :
0 এর Successor হচ্ছে 1
যা প্রকাশ করা হবে এভাবে : S(0) = 1
একইভাবে,
1 এর Successor হচ্ছে 2
যাকে প্রকাশ করা যাবে এভাবে : S(1) = 2
যা আবার চাইলে লেখা যাবে : S(S(0)) = 2 [ভেতরে 1-এর জায়গায় S(0) বসিয়ে]
এভাবে আমরা বলতে পারি,
1 = S(0)
2 = S(1) = S(S(0))
3 = S(2) = S(S(1)) = S(S(S(0)))
এভাবে যেকোনো সংখ্যাকে প্রকাশ করা যাবে।
যোগের জন্য আরও দুটো স্বতঃসিদ্ধ :
a + 0 = a [যেখানে a কোনো একটি সংখ্যা]
a + S(b) = S(a + b) [যেখানে a এবং b যেকোনো দুটো সংখ্যা]
ওপরের স্বতঃসিদ্ধগুলো প্রয়োগ করে আমরা লিখতে পারি:
2 + 2
= 2 + S(1)
= S(2 + 1) [যেহেতু a + S(b) = S(a + b) ]
= S(2 + S(0))
= S(S(2 + 0)) [যেহেতু a + S(b) = S(a + b) ]
= S(S(2)) [যেহেতু a + 0 = a ]
= S(3)
= 4
এভাবে Mathematical Axioms প্রয়োগ করে আমরা প্রমাণ করতে পারি, 2 + 2 = 4
—–